Exercices de calculs d'optique géométrique appliquée
Des exercices concernant la profondeur de champ se trouvent plus bas ↓.
Survolez la zone où doit se trouver la résolution pour la faire apparaître.
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Calculs pour f ; p ; pʼ ; y ; yʼ ; m
Avec une caméra technique et un objectif de 140 mm de focale, vous devez reproduire un objet de 98 cm de haut à une taille de 4 cm sur le capteur.
• Calculez le tirage de la caméra.
Résolution:
On aimerait utiliser la formule p' = ( m + 1 ) × f, mais on ne connait pas le rapport de grandeur m.
Par contre on peut le calculer facilement avec la taille de l'objet y et celle de l'image y' :
m = y' / y ⇒
m = 40 / 980 ⇒
m = 0.040816326530612
On peut maintenant calculer la distance image, ou tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.040816326530612 + 1 ) × 140 ⇒
p' = 1.0408163265306 × 140 ⇒
p' = 145.71428571429 [mm]
Le tirage de la caméra sera de 145,71 millimètres.
Sur un appareil moyen format muni d'un 90 mm, la distance minimale de mise au point est de 22 cm.
• Quel rapport de grandeur maximum pouvez-vous obtenir ?
Résolution:
On aimerait utiliser la formule m = f / x, mais on ne connait pas x.
Par contre on peut le calculer facilement avec la distance de mise au point p et la focale f, car x est la différence entre les deux:
x = p - f ⇒
x = 220 - 90 ⇒
x = 130 [mm]
On peut maintenant calculer le rapport de grandeur m :
m = f / x ⇒
m = 90 / 130 ⇒
m = 0.69230769230769
Le rapport de grandeur maximum est de 0,69.
Dans la situation précédente, calculez la grandeur de l'image si la grandeur de l'objet fait 27 mm.
Résolution:
Il suffit de multiplier la taille de l'objet y par le rapport de grandeur m qu'on vient de trouver:
y' = y × m ⇒
y' = 27 × 0.69230769230769 ⇒
y' = 18.692307692308 [mm]
La taille de l'image sera de 18,7 millimètres.
Vous devez projeter un film Super 16 (photogramme: 12,39 × 7,49 mm) dans une salle de 16 m de profondeur et dont la base de l'écran est de 5 m.
• Calculez la focale de l'objectif nécessaire à cette projection.
Résolution:
Attention dans cet exercice de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image qui est de 16 mètres. De même, les 5 mètres de la base de l'écran est la dimension de l'image, qui correspond au 12.39 mm du photogramme qui, elle, est la dimension de l'objet (au cinéma, les images sont toujours projetées en format paysage…)
m = y' / y ⇒
m = 5000 / 12.39 ⇒
m = 403.55125100888
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p' / ( m + 1 ) ⇒
f = 16000 / ( 403.55125100888 + 1 ) ⇒
f = 16000 / 404.55125100888 ⇒
f = 39.549995112112 [mm]
La focale de l'objectif du projecteur devra être d'environ 40 mm.
Avec une caméra 4 × 5” et un objectif de 180 mm de focale, vous obtenez un tirage de 22.6 cm.
• Calculez la distance de prise de vue.
Résolution:
On utilise ici simplement la formule qui permet de trouver la distance de prise de vue lorsqu'on connait la focale et le tirage:
p = ( p' × f ) / ( p' - f ) ⇒
p = ( 226 × 180 ) / ( 226 - 180 ) ⇒
p = 40680 / 46
p = 884.34782608696 [mm]
La distance à l'objet sera de 884,35 mm.
Dans la situation précédente, calculez la taille de l'image si un objet de 43 cm de haut est placé dans le plan de netteté.
Résolution:
Pour connaître la taille de l'image il faut connaître le rapport de grandeur m, qui est aussi égal au rapport du tirage p' à la distance objet p :
m = p' / p ⇒
m = 226 / 884.34782608696 ⇒
m = 0.25555555555556
On peut maintenant calculer la grandeur image y' :
y' = y × m ⇒
y' = 430 × 0.25555555555556 ⇒
y' = 109.88888888889 [mm]
La taille de l'image sera de 109,89 mm.
Toujours dans la même situation, que deviendront le tirage et la distance de prise de vue si l'image de l'objet doit faire 10 cm de haut.
Résolution:
De nouveau, on passe par le rapport de grandeur pour une grandeur image de 10 cm et une grandeur objet de 43 cm:
m = y' / y ⇒
m = 100 / 430 ⇒
m = 0.23255813953488
On peut maintenant calculer la distance objet p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f ⇒
p = [ ( 1 / 0.23255813953488 ) + 1 ] × 180 ⇒
p = 954 [mm]
…et la distance image, le tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.23255813953488 + 1 ) × 180 ⇒
p' = 221.86046511628 [mm]
Le tirage sera de 221,86 mm et la distance objet sera de 954,00 mm.
Dans une église, vous devez réaliser la reproduction d'un vitrail qui fait 23 m de haut par 8 m de large en petit format (24 × 36 mm, tolérance de netteté: 1/30 mm). Pour pouvoir faire cette prise de vue, vous devez vous placer dans une galerie qui se trouve en face du vitrail, à 12 m de celui-ci.
• Calculez la focale qu'il faudra utiliser.
Résolution:
On aimerait utiliser la formule f = p / [ ( 1/m ) + 1 ], mais on ne connait pas le rapport de grandeur m.
Par contre on peut le calculer facilement avec la taille de l'objet, y = 23000 mm, et la taille de l'image, autrement dit la taille du capteur ou du film pris dans le sens de la hauteur, soit ici y' = 36 mm :
m = y' / y ⇒
m = 36 / 23000 ⇒
m = 0.0015652173913043
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p / [ ( 1/m ) + 1 ] ⇒
f = 12000 [ ( 1/0.0015652173913043 ) + 1 ] ⇒
f = 12000 [ 638.88888888889 + 1 ] ⇒
f = 12000 / 639.88888888889 ⇒
f = 18.753255773572
La focale devra être inférieure à 18,75 millimètres.
Un négatif 6 × 8 cm doit être agrandi à 60 × 70 cm. L'agrandisseur est équipé d'un objectif 180 mm.
• Calculez la distance objectif-cadre margeur.
Résolution:
Attention aussi dans cet exercice de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image que vous cherchez, pas la distance objet !
De même, les dimensions du négatif sont les dimensions de l'objet et les dimensions de l'agrandissement sont les dimensions de l'image.
Il y a une petite subtilité ici: Si vous choisissez de faire coïncider la hauteur du négatif avec la hauteur de l'agrandissement ou la largeur du négatif avec la largeur de l'agrandissement, vous aurez des rapports de grandeur différents (les négatifs ne sont pas forcément au même rapport hauteur / largeur que les formats des papiers: soit vous devez recadrer le négatif, soit vous avez des marges blanches sur l'agrandissement –par exemple pour un négatif 6x6 tiré sur un papier rectangulaire– ! ). Vous trouverez donc des distances images différentes.
Sans contrainte dans la question, c'est à vous de choisir !
m = y' / y ⇒
m
1 = 600 / 60 ⇒
m
1 = 10
m
2 = 700 / 80 ⇒
m
2 = 8.75
On peut maintenant calculer la distance image p' pour faire coïncider les hauteurs:
p = ( m + 1 ) × f ⇒
p
1 = ( 10 + 1 ) × 180 ⇒
p
1 = 1980 [mm]
Puisque le rapport hauteur/largeur du négatif n'est pas le même que le rapport hauteur/largeur de l'agrandissement (puisque m
1 et m
2 ne sont pas égaux), il faut aussi calculer la distance image pour la largeur:
p
2 = ( 8.75 + 1 ) × 180 ⇒
p
2 = 1755 [mm]
La distance image sera de 1980 mm si on fait coïncider les hauteurs et de 1755 mm si on fait coïncider les largeurs.
A l'aide d'une caméra technique, vous devez faire une reproduction grandeur nature d'un timbre-poste. Le tirage maximal de cette caméra est de 28.8 cm. Vous disposez de deux objectifs: un 160 mm et un 80 mm de focale.
• Pouvez-vous faire cette reproduction ? Justifiez, par le calcul, votre réponse.
Résolution:
Je cherche le rapport de grandeur le plus grand possible (pour un tirage de 28.8 cm) pour les deux focales et je regarde si l'une des deux me permet un rapport de grandeur égal ou supérieur à 1. Pour calculer le rapport de grandeur m j'ai besoin de connaitre x', qui est la différence entre le tirage et la focale:
x = p' - f
x
1 = 288 - 160
x
1 = 128 [mm]
x
2 = 288 - 80
x
2 = 208 [mm]
On calcule ensuite les rapports de grandeurs maximaux avec les deux objectifs:
m = x' / f ⇒
m
1 = 128 / 160 ⇒
m = 0.8
-> Impossible avec le 160 mm car le rapport de grandeur maximal est inférieur à 1.
m
2 = 208 / 80 ⇒
m = 2.6
-> Possible avec le 80 mm car le rapport de grandeur peut être supérieur à 1.
La reproduction grandeur nature sera possible avec l'objectif de 80 millimètres.
Vous faites une prise de vue de montre au rapport 1 : 0.8 avec un objectif de 110 mm de focale.
• Calculez la distance de prise de vue.
Résolution:
Je commence par calculer le rapport de grandeur pour pouvoir utiliser la formule p = [ ( 1/m ) + 1 ] × f :
m = y' / y
m = 1 / 0.8
m = 1.25
On calcule ensuite la distance objet, ou distance de prise de vue, ou de mise au point p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f
p = [ ( 1/1.25 ) + 1 ] × 110
p = [ ( 0.8 ) + 1 ] × 110
p = [ 1.8 ] × 110
p = 198 [mm]
La distance objet sera de 198 millimètres.
Dans la situation de la question précédente, calculez le tirage de l'appareil.
Résolution:
J'utilise simplement la formule:
p' = ( m + 1 ) × f
p' = ( 1.25 + 1 ) × 110
p' = ( 2.25 ) × 110
p' = 247.5 [mm]
La distance image, ou tirage, sera de 248 millimètres.
Dans la situation de la question précédente, calculez le facteur de prolongation et convertissez-le en pas de diaphragme.
Résolution:
J'utilise simplement la formule:
fdp = ( m + 1 )
2
fdp = ( 1.25 + 1 )
2
fdp = ( 2.25 )
2
fdp = 5.0625
Le facteur de prolongation sera de 5,1
J'aurais très bien pu utiliser la formule:
fdp = ( p' / f )
2
fdp = ( 247.5 / 110 )
2
fdp = ( 2.25 )
2
fdp = 5.0625
Je converti maintenant ce facteur en valeurs de diphragme, d'IL:
Ecart d'IL = Log(fdp) / Log(2)
Ecart d'IL = Log(5.0625) / Log(2)
Ecart d'IL = 0.70436503622272 / 0.30102999566398
Ecart d'IL = 2.3398500028846
Il faudra ouvrir de 2,3 valeurs de diaphragme, autrement dit de 2 diaph' et 3 dixièmes.
Calculs pour h ; xʼ ; p ; pʼ ; k ; t ; pv ; ph
Vous réalisez un paysage avec un objectif 120 mm, monté sur un appareil grand format diaphragmé à ƒ/64
• Calculez la distance hyperfocale.
Résolution:
On cherche à utiliser la formule h = [ f
2 / ( u × k ) ] + f.
S'agissant de grand format, la tolérance de netteté u est de 1/10 mm, soit 0.1 mm.
h = [ f
2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 120
2 / ( 0.1 × 64 ) ] + 120 ⇒
h = [ 14400 / 6.4 ] + 120 ⇒
h = [ 2250 ] + 120 ⇒
h = 2370 [mm]
La distance hyperfocale sera de 2,37 mètres.
• Calculez le tirage nécessaire pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale trouvée plus haut.
Résolution:
L'intérêt de connaître la distance hyperfocale, c'est que lorsqu'on fait la mise au point à cette distance –et non plus à l'infini– on a la plus grande profondeur de champ possible. Comme on veut faire la mise au point à cette distance –autrement dit à 2,37 mètres dans l'exercice qui nous intéresse– on peut chercher le tirage de la caméra pour que la mise au point soit faite à cette distance:
p' = ( p × f ) / ( p - f ) ⇒
p' = ( 2370 * 120 ) / ( 2370 - 120 ) ⇒
p' = 284400 / 2250 ⇒
p' = 126.4 [mm]
Le tirage devra être de 126,4 millimètres pour que la mise au point soit faite à 2,37 mètres, la distance hyperfocale devenue la distance de mise au point.
• Dans la situation précédente, calculez l'augmentation du tirage qu'il faut par rapport à une mise au point à l'infini pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale.
Résolution:
On cherche la différence entre le tirage de la caméra lorsque la mise au point est faite à une distance égale à la distance hyperfocale (autrement dit lorsque la distance objet p est égale à la distance hyperfocale h) et le tirage de la caméra lorsque la mise au moint est faite à l'infini (autrement dit lorsque le tirage est égal à la focale). Bref, on cherche x' :
x' = p' - f ⇒
x' = 126.4 - 120 ⇒
x' = 6.4 [mm]
L'augmentation du tirage sera de 6,4 millimètres.
• Enfin, toujours dans la même situation, calculez la distance du premier-plan net (donc la distance du premier-plan net lorsque la mise au point sera faite à la distance hyperfocale) et la distance de l'arrière-plan net.
Résolution:
«…Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini».Donc il suffit de diviser la distance hyperfocale par deux pour connaître la distance du premier plan net pv lorsqu'on fera la mise au point à la distance hyperfocale. L'arrière-plan ph se trouvera, par définition, à l'infini.
pv = h / 2 ⇒
pv = 2370 / 2 ⇒
pv = 1185 [mm]
Le premier plan net sera à 1,2 mètres et l'arrière plan net à l'infini.
Pour une prise de vue, vous devez assurer une profondeur de champ de 4.6 m jusqu'à 9.76 m avec un objectif de 110 mm en grand format 4 × 5 po (tolérance de netteté 1/10 mm).
• Calculez la distance de mise au point idéale.
Résolution:
Nul besoin de la focale ni de la tolérance de netteté, il suffit d'utiliser la formule suivante:
p = ( 2 × pv × ph ) / ( pv + ph ) ⇒
p = ( 2 × 4600 × 9760 ) / ( 4600 + 9760 ) ⇒
p = ( 89792000 ) / ( 14360 ) ⇒
p = 6252.9247910864 [mm]
La distance de mise au point idéale sera de 6,25 mètres.
• Dans la situation précédente, calculez l'ouverture de travail minimum et exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.
Résolution:
Là on cherche le diaphragme minimum qu'il faut pour que tout soit net entre 4.6 et 9.76 m avec une focale de 110 mm en grand format. La formule qu'il faut utiliser est:
k = [ f
2 × ( ph - pv ) ] / ( 2 × u × pv × ph ) ⇒
k = [ 110
2 × ( 9760 - 4600 ) ] / ( 2 × 0.1 × 4600 × 9760 ) ⇒
k = [ 12100 × 5160 ] / ( 8979200 ) ⇒
k = 6.9534034212402
L'ouverture de travail devra être au minimum de 6,95 pour que tout soit net entre 4.6 et 9.76 m.
En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/5,6 ⅔.
Pour une prise de vue macro en 24 × 36 mm, vous faites la mise au point à 160 mm avec un objectif de 70 mm diaphragmé à ƒ/8 (tolérance de netteté 1/30 mm).
• Calculez la profondeur de champ.
Résolution:
On cherche à utiliser la seule formule possible: t = ( 2 × p × x × h ) / ( h
2 - x
2 )
Mais avant cela il faut trouver la valeur de x et celle de h dont nous avons besoin:
h = [ f
2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 70
2 / ( 0.03 × 8 ) ] + 70 ⇒
h = [ 4900 / 0.24 ] + 70 ⇒
h = [ 20416.666666667 ] + 70 ⇒
h = 20486.666666667 [mm]
Puis…
x = p - f ⇒
x = 160 - 70 ⇒
x = 90 [mm]
Et enfin…
t = ( 2 × p × x × h ) / ( h
2 - x
2 ) ⇒
t = ( 2 × 160 × 90 × 20486.666666667 ) / ( 419703511.11111 - 8100 ) ⇒
t = ( 590016000 ) / ( 419695411.11111 ) ⇒
t = 1.4058195166775 [mm]
La profondeur de champ sera de 1,4 millimètres.
• Dans la situation précédente, calculer la distance du premier-plan net et de l'arrière-plan net.
Résolution:
On cherche à utiliser la formule:
pv = ( p × h ) / [ h + ( p - f ) ] ⇒
pv = ( 160 × 20486.666666667) / [ 20486.666666667 + ( 160 - 70 ) ] ⇒
pv = ( 3277866.6666667 ) / ( 20576.666666667 ) ⇒
pv = 159.30017819537 [mm]
Puis la formule:
ph = ( p × h ) / [ h - ( p - f ) ] ⇒
ph = ( 160 × 20486.666666667 ) / [ 20486.666666667 - ( 160 - 70 ) ] ⇒
ph = ( 3277866.6666667 ) / ( 20396.666666667 ) ⇒
ph = 160.70599771204 [mm]
Le premier-plan net sera à 159,3 millimètres, et l'arrière plan à 160,7 millimètres.
Pour une prise de vue d'architecture en 24 × 36 mm avec un objectif de 60 mm de focale, vous devez faire la mise au point à 17.1 m.
• Calculez l'ouverture de travail minimum pour que la profondeur de champ s'étende de la moitié de la distance de mise au point jusqu'à l'infini. Exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.
Résolution:
Ce qu'il faut comprendre ici, c'est que l'on cherche une ouverture
pour une distance hyperfocale donnée:
« …Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini ». Puisqu'on veut une profondeur de champ qui va de
la moitié de la distance de mise au point
jusqu'à l'infini, la distance de mise au point peut être considérée comme la distance hyperfocale. La formule qu'on peut utiliser est donc celle de la « recherche du diaphragme pour une hyperfocale donnée », soit k = f
2 / [ u × ( h - f ) ] où h est égal à la distance de prise de vue p qui est de 17.1 m.
S'agissant de petit format, la tolérance de netteté u est de 1/30 mm, soit 0.03 mm.
k = f
2 / [ u × ( h - f ) ] ⇒
k = 60
2 / [ 0.03 × ( 17100 - 60 ) ] ⇒
k = 3600
2 / [ 0.03 × ( 17040 ) ] ⇒
k = 3600 / 511.2 ⇒
k = 5.8746736292428
L'ouverture de travail devra être au minimum de 5,87.
En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/5,6 ⅓.