Exercices de calculs d'optique géométrique appliquée

Des exercices concernant la profondeur de champ se trouvent plus bas ↓.
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 Calculs pour f ; p ; pʼ ; y ; yʼ ; m 

Avec une caméra technique et un objectif de 120 mm de focale, vous devez reproduire un objet de 83 cm de haut à une taille de 4 cm sur le capteur.
• Calculez le tirage de la caméra.

Résolution:

On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
f = 120 mm
y = 830 mm
y' = 40 mm
Puisqu'on connait y et y' on peut facilement trouver le rapport de grandeur m. Après on pourra utiliser la formule p' = ( m + 1 ) × f pour trouver le tirage :
m = y' / y ⇒
m = 40 / 830 ⇒
m = 0.048192771084337
On peut maintenant calculer la distance image, ou tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.048192771084337 + 1 ) × 120 ⇒
p' = 1.0481927710843 × 120 ⇒
p' = 125.78313253012 [mm]

Le tirage de la caméra sera de 125,78 millimètres.

Sur un appareil moyen format muni d'un 160 mm, la distance minimale de mise au point est de 48 cm.
• Quel rapport de grandeur maximum pouvez-vous obtenir ?

Résolution:

On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
f = 160 mm
p = 480 mm
Avec ces données on peut facilemengt trouver x, car c'est la différence entre p et f, et du coup on pourra utiliser la formule m = f / x pour trouver le rapport de grandeur m :
x = p - f ⇒
x = 480 - 160 ⇒
x = 320 [mm]
On peut maintenant calculer le rapport de grandeur m :
m = f / x ⇒
m = 160 / 320 ⇒
m = 0.5

Le rapport de grandeur maximum est de 0,50.

Dans la situation précédente, calculez la grandeur de l'image si la grandeur de l'objet fait 28 mm.

Résolution:

La nouvelle donnée, en millimètres:
y = 28 mm
Il suffit de multiplier la taille de l'objet y par le rapport de grandeur m qu'on vient de trouver:
y' = y × m ⇒
y' = 28 × 0.5 ⇒
y' = 14 [mm]

La taille de l'image sera de 14,0 millimètres.

Vous devez projeter un film 35 mm au rapport «académique» (photogramme: 20,95 × 15,24 mm) dans une salle de 22 m de profondeur et dont la base de l'écran est de 9 m.
• Calculez la focale de l'objectif nécessaire à cette projection.

Résolution:

Attention dans cet exercice de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image qui est de 22 mètres. De même, les 9 mètres de la base de l'écran est la dimension de l'image, qui correspond au 20.95 mm du photogramme qui, elle, est la dimension de l'objet (au cinéma, les images sont toujours projetées en format paysage…)
On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
p' = 22000 mm
y' = 9000 mm
y = 20.95 mm
Là aussi on peut facilement trouver le rapport de grandeur m avec y et y' puis calculer la focale nécessaire à la projection :
m = y' / y ⇒
m = 9000 / 20.95 ⇒
m = 429.59427207637
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p' / ( m + 1 ) ⇒
f = 22000 / ( 429.59427207637 + 1 ) ⇒
f = 22000 / 430.59427207637 ⇒
f = 51.092179870191 [mm]

La focale de l'objectif du projecteur devra être d'environ 51 mm.

Avec une caméra 4 × 5” et un objectif de 200 mm de focale, vous obtenez un tirage de 26.1 cm.
• Calculez la distance de prise de vue.

Résolution:

On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
f = 200 mm
p' = 261 mm
On utilise ici simplement la formule qui permet de trouver la distance de prise de vue lorsqu'on connait la focale et le tirage:
p = ( p' × f ) / ( p' - f ) ⇒
p = ( 261 × 200 ) / ( 261 - 200 ) ⇒
p = 52200 / 61
p = 855.73770491803 [mm]

La distance à l'objet sera de 855,74 mm.

Dans la situation précédente, calculez la taille de l'image si un objet de 29.5 cm de haut est placé dans le plan de netteté.

Résolution:

Valeurs de la solution précédente et de la nouvelle donnée, en millimètres:
p = 855,74 mm
y = 295 mm
Pour connaître la taille de l'image il faut connaître le rapport de grandeur m, qui est aussi égal au rapport du tirage p' à la distance objet p :
m = p' / p ⇒
m = 261 / 855.73770491803 ⇒
m = 0.305
On peut maintenant calculer la grandeur image y' :
y' = y × m ⇒
y' = 295 × 0.305 ⇒
y' = 89.975 [mm]

La taille de l'image sera de 89,98 mm.

Toujours dans la même situation, que deviendront le tirage et la distance de prise de vue si l'image de l'objet doit faire 10 cm de haut.

Résolution:

La nouvelle donnée, en millimètres:
y' = 100 mm
De nouveau, on passe par le rapport de grandeur pour une grandeur image de 10 cm et une grandeur objet de 29.5 cm:
m = y' / y ⇒
m = 100 / 295 ⇒
m = 0.33898305084746
On peut maintenant calculer la distance objet p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f ⇒
p = [ ( 1 / 0.33898305084746 ) + 1 ] × 200 ⇒
p = 790 [mm]
…et la distance image, le tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.33898305084746 + 1 ) × 200 ⇒
p' = 267.79661016949 [mm]

Le tirage sera de 267,80 mm et la distance objet sera de 790,00 mm.

Dans une église, vous devez réaliser la reproduction d'un vitrail qui fait 18 m de haut par 6 m de large en moyen format (5,4 × 4 cm). Pour pouvoir faire cette prise de vue, vous devez vous placer dans une galerie qui se trouve en face du vitrail, à 27 m de celui-ci.
• Calculez la focale qu'il faudra utiliser.

Résolution:

On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
y = 18000 mm (La hauteur du vitrail)
y' = 54 mm (Le grand côté du format de prise de vue)
p = 27000 mm
On aimerait utiliser la formule f = p / [ ( 1/m ) + 1 ], mais on ne connait pas le rapport de grandeur m.
Par contre on peut le calculer facilement avec la taille de l'objet, y = 18000 mm, et la taille de l'image, autrement dit la taille du capteur ou du film pris dans le sens de la hauteur, soit ici y' = 54 mm :
m = y' / y ⇒
m = 54 / 18000 ⇒
m = 0.003
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p / [ ( 1/m ) + 1 ] ⇒
f = 27000 [ ( 1/0.003 ) + 1 ] ⇒
f = 27000 [ 333.33333333333 + 1 ] ⇒
f = 27000 / 334.33333333333 ⇒
f = 80.757726819541

La focale devra être inférieure à 80,76 millimètres.

Un négatif 6 × 7 cm doit être agrandi à 60 × 70 cm. L'agrandisseur est équipé d'un objectif 200 mm.
• Calculez la distance objectif-cadre margeur.

Résolution:

Là aussi faites attention de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image que vous cherchez, pas la distance objet !
De même, les dimensions du négatif sont les dimensions de l'objet et les dimensions de l'agrandissement sont les dimensions de l'image.
Il y a une petite subtilité ici: Si vous choisissez de faire coïncider la hauteur du négatif avec la hauteur de l'agrandissement ou la largeur du négatif avec la largeur de l'agrandissement, vous aurez des rapports de grandeur différents (les négatifs ne sont pas forcément au même rapport hauteur / largeur que les formats des papiers: soit vous devez recadrer le négatif, soit vous avez des marges blanches sur l'agrandissement –par exemple pour un négatif 6x6 tiré sur un papier rectangulaire– ! ). Vous trouverez donc des distances images différentes.
Sans contrainte dans la question, c'est à vous de choisir !
On extrait les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
y1 = 60 mm
y2 = 70 mm
y'1 = 600 mm
y'2 = 700 mm
f = 200 mm
On calcule d'abord le rapport de grandeur m .
m = y' / y ⇒ ⇒
m1 = 600 / 60 ⇒
m1 = 10
m2 = 700 / 70 ⇒
m2 = 10
On peut maintenant calculer la distance image p' pour faire coïncider les hauteurs:
p = ( m + 1 ) × f ⇒
p1 = ( 10 + 1 ) × 200 ⇒
p1 = 2200 [mm]
Comme le rapport hauteur/largeur du négatif et celui de l'agrandissement sont les mêmes, les rapports de grandeur pour la hauteur et pour la largeur seront donc les mêmes (puisque m1 et m2 sont égaux), donc les distances images seront les mêmes, le calcul s'arrête là.

La distance image sera de 2200 mm.

A l'aide d'une caméra technique, vous devez faire une reproduction grandeur nature d'un timbre-poste. Le tirage maximal de cette caméra est de 32.4 cm. Vous disposez de deux objectifs: un 180 mm et un 90 mm de focale.
• Pouvez-vous faire cette reproduction ? Justifiez, par le calcul, votre réponse.

Résolution:

On extrait d'abord les informations de la donnée que l'on converti en millimètres le cas échéant:
f1 = 180 mm
f2 = 90 mm
p' = 324 mm
Ici on va chercher le rapport de grandeur le plus grand possible (pour un tirage de 32.4 cm) pour les deux focales puis on va regarder si l'une des deux me permet un rapport de grandeur égal ou supérieur à 1. Pour calculer le rapport de grandeur m on a besoin de connaitre x', qui est simplement la différence entre le tirage et la focale, deux valeurs que l'on connait :
x = p' - f ⇒
x1 = 324 - 180 ⇒
x1 = 144 [mm]
x2 = 324 - 90 ⇒
x2 = 234 [mm]
On calcule les rapports de grandeurs maximaux avec les deux objectifs:
m = x' / f ⇒
m1 = 144 / 180 ⇒
m = 0.8
 -> Impossible avec le 180 mm car le rapport de grandeur maximal est inférieur à 1.
m2 = 234 / 90 ⇒
m = 2.6
 -> Possible avec le 90 mm car le rapport de grandeur peut être supérieur à 1.

La reproduction grandeur nature sera possible avec l'objectif de 90 millimètres.

Vous faites une prise de vue de montre au rapport 1 : 1.9 avec un objectif de 190 mm de focale.
• Calculez la distance de prise de vue.

Résolution:

On commence par calculer le rapport de grandeur pour pouvoir utiliser la formule p = [ ( 1/m ) + 1 ] × f :
m = y' / y ⇒
m = 1 / 1.9 ⇒
m = 0.52631578947368
On calcule ensuite la distance objet (ou distance de prise de vue, ou de mise au point) p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f ⇒
p = [ ( 1/0.52631578947368 ) + 1 ] × 190 ⇒
p = [ ( 1.9 ) + 1 ] × 190 ⇒
p = [ 2.9 ] × 190 ⇒
p = 551 [mm]

La distance objet sera de 551 millimètres.

Dans la situation de la question précédente, calculez le tirage de l'appareil.

Résolution:

On utilise simplement la formule:
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.52631578947368 + 1 ) × 190 ⇒
p' = ( 1.5263157894737 ) × 190 ⇒
p' = 290 [mm]

La distance image, ou tirage, sera de 290 millimètres.

Dans la situation de la question précédente, calculez le facteur de prolongation et convertissez-le en pas de diaphragme.

Résolution:

On utilise simplement la formule:
fdp = ( m + 1 )2
fdp = ( 0.52631578947368 + 1 )2
fdp = ( 1.5263157894737 )2
fdp = 2.3296398891967

Le facteur de prolongation sera de 2,3

On aurais très bien pu utiliser la formule:
fdp = ( p' / f )2
fdp = ( 290 / 190 )2
fdp = ( 1.5263157894737 )2
fdp = 2.3296398891967

On converti maintenant ce facteur en valeurs de diphragme, d'IL:
Ecart d'IL = Log(fdp) / Log(2) ⇒
Ecart d'IL = Log(2.3296398891967) / Log(2) ⇒
Ecart d'IL = 0.36728879389225 / 0.30102999566398 ⇒
Ecart d'IL = 1.220106963368

Il faudra ouvrir de 1,2 valeurs de diaphragme, autrement dit de 1 diaph' et 2 dixièmes.


 Calculs pour h ; xʼ ; p ; pʼ ; k ; t ; pv ; ph 

Vous réalisez un paysage avec un objectif 140 mm, monté sur un appareil grand format diaphragmé à ƒ/16
• Calculez la distance hyperfocale.

Résolution:

Comme d'habitude on commence par extraire les valeurs de la donnée et par les convertir en millimètre. Attention avec les calculs de profondeur de champ de bien convertir en millimètre, car la tolérence de netteté –qui est souvent utilisée dans les calculs de profondeur de champ– est donnée en millimètre. Sinon, n'oubliez par de convertir la tolérance de netteté dans l'unité que vous avez choisi d'utiliser !
f = 140 mm
ƒ/ = 16
On cherche à utiliser la formule h = [ f2 / ( u × k ) ] + f.
S'agissant de grand format, la tolérance de netteté u est de 1/10 mm, soit 0.1 mm.
h = [ f2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 1402 / ( 0.1 × 16 ) ] + 140 ⇒
h = [ 19600 / 1.6 ] + 140 ⇒
h = [ 12250 ] + 140 ⇒
h = 12390 [mm]

La distance hyperfocale sera de 12,39 mètres.

• Calculez le tirage nécessaire pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale trouvée plus haut.

Résolution:

L'intérêt de connaître la distance hyperfocale, c'est que lorsqu'on fait la mise au point à cette distance –et non plus à l'infini– on a la plus grande profondeur de champ possible. Comme on veut faire la mise au point à cette distance –autrement dit à 12,39 mètres dans l'exercice qui nous intéresse– on peut chercher le tirage de la caméra pour que la mise au point soit faite à cette distance:
p' = ( p × f ) / ( p - f ) ⇒
p' = ( 12390 * 140 ) / ( 12390 - 140 ) ⇒
p' = 1734600 / 12250 ⇒
p' = 141.6 [mm]

Le tirage devra être de 141,6 millimètres pour que la mise au point soit faite à 12,39 mètres, la distance hyperfocale devenue la distance de mise au point.

• Dans la situation précédente, calculez l'augmentation du tirage qu'il faut par rapport à une mise au point à l'infini pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale.

Résolution:

On cherche la différence entre le tirage de la caméra lorsque la mise au point est faite à une distance égale à la distance hyperfocale (autrement dit lorsque la distance objet p est égale à la distance hyperfocale h) et le tirage de la caméra lorsque la mise au moint est faite à l'infini (autrement dit lorsque le tirage est égal à la focale). Bref, on cherche x' :
x' = p' - f ⇒
x' = 141.6 - 140 ⇒
x' = 1.6 [mm]

L'augmentation du tirage sera de 1,6 millimètres.

• Enfin, toujours dans la même situation, calculez la distance du premier-plan net (donc la distance du premier-plan net lorsque la mise au point sera faite à la distance hyperfocale) et la distance de l'arrière-plan net.

Résolution:

«…Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini».
Donc il suffit de diviser la distance hyperfocale par deux pour connaître la distance du premier plan net pv lorsqu'on fera la mise au point à la distance hyperfocale. L'arrière-plan ph se trouvera, par définition, à l'infini.
pv = h / 2 ⇒
pv = 12390 / 2 ⇒
pv = 6195 [mm]

Le premier plan net sera à 6,2 mètres et l'arrière plan net à l'infini.

Pour une prise de vue, vous devez assurer une profondeur de champ de 3.45 m jusqu'à 8.05 m avec un objectif de 110 mm en grand format 4 × 5 po (tolérance de netteté 1/10 mm).
• Calculez la distance de mise au point idéale.

Résolution:

On extrait comme toujours les valeurs de la donnée:
pv = 3450 mm
ph = 8050 mm
f = 110 mm
u = 1/10 mm
Nul besoin ici de la focale ni de la tolérance de netteté, il suffit d'utiliser la formule suivante :
p = ( 2 × pv × ph ) / ( pv + ph ) ⇒
p = ( 2 × 3450 × 8050 ) / ( 3450 + 8050 ) ⇒
p = ( 55545000 ) / ( 11500 ) ⇒
p = 4830 [mm]

La distance de mise au point idéale sera de 4,83 mètres.

• Dans la situation précédente, calculez l'ouverture de travail minimum et exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.

Résolution:

Là on cherche le diaphragme minimum qu'il faut pour que tout soit net entre 3.45 et 8.05 m avec une focale de 110 mm en grand format. La formule qu'il faut utiliser ici, dans laquelle on a besoin de u et de la focale, est:
k = [ f2 × ( ph - pv ) ] / ( 2 × u × pv × ph ) ⇒
k = [ 1102 × ( 8050 - 3450 ) ] / ( 2 × 0.1 × 3450 × 8050 ) ⇒
k = [ 12100 × 4600 ] / ( 5554500 ) ⇒
k = 10.020703933747

L'ouverture de travail devra être au minimum de 10,02 pour que tout soit net entre 3.45 et 8.05 m.

En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/8 ⅔.

Pour une prise de vue macro en 4 × 5 po, vous faites la mise au point à 357 mm avec un objectif de 170 mm diaphragmé à ƒ/45 (tolérance de netteté 1/10 mm).
• Calculez la profondeur de champ.

Résolution:

Extraction des données :
p = 357 mm
f = 170 mm
ƒ/ = 45
u = 1/10 mm
On cherche à utiliser la seule formule possible: t = ( 2 × p × x × h ) / ( h2 - x2 )
Mais avant cela il faut trouver la valeur de h et celle de x dont nous avons besoin:
h = [ f2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 1702 / ( 0.1 × 45 ) ] + 170 ⇒
h = [ 28900 / 4.5 ] + 170 ⇒
h = [ 6422.2222222222 ] + 170 ⇒
h = 6592.2222222222 [mm]
Puis…
x = p - f ⇒
x = 357 - 170 ⇒
x = 187 [mm]
Et enfin…
t = ( 2 × p × x × h ) / ( h2 - x2 ) ⇒
t = ( 2 × 357 × 187 × 6592.2222222222 ) / ( 43457393.82716 - 34969 ) ⇒
t = ( 880180326.66667 ) / ( 43422424.82716 ) ⇒
t = 20.270179064623 [mm]

La profondeur de champ sera de 20,3 millimètres.

• Dans la situation précédente, calculer la distance du premier-plan net et de l'arrière-plan net.

Résolution:

On cherche à utiliser la formule:
pv = ( p × h ) / [ h + ( p - f ) ] ⇒
pv = ( 357 × 6592.2222222222) / [ 6592.2222222222 + ( 357 - 170 ) ] ⇒
pv = ( 2353423.3333333 ) / ( 6779.2222222222 ) ⇒
pv = 347.1524101421 [mm]
Puis la formule:
ph = ( p × h ) / [ h - ( p - f ) ] ⇒
ph = ( 357 × 6592.2222222222 ) / [ 6592.2222222222 - ( 357 - 170 ) ] ⇒
ph = ( 2353423.3333333 ) / ( 6405.2222222222 ) ⇒
ph = 367.42258920672 [mm]

Le premier-plan net sera à 347,2 millimètres, et l'arrière plan à 367,4 millimètres.

Pour une prise de vue d'architecture en 6 × 6 cm avec un objectif de 70 mm de focale, vous devez faire la mise au point à 27.4 m.
• Calculez l'ouverture de travail minimum pour que la profondeur de champ s'étende de la moitié de la distance de mise au point jusqu'à l'infini. Exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.

Résolution:

Ce qu'il faut comprendre ici, c'est que l'on cherche une ouverture pour une distance hyperfocale donnée: « …Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini ». Puisqu'on veut une profondeur de champ qui va de la moitié de la distance de mise au point jusqu'à l'infini, la distance de mise au point peut être considérée comme la distance hyperfocale. La formule qu'on peut utiliser est donc celle de la « recherche du diaphragme pour une hyperfocale donnée », soit k = f2 / [ u × ( h - f ) ] où h est égal à la distance de prise de vue p qui est de 27.4 m.
S'agissant de moyen format, la tolérance de netteté u est de 1/20 mm, soit 0,05 mm.
k = f2 / [ u × ( h - f ) ] ⇒
k = 702 / [ 0,05 × ( 27400 - 70 ) ] ⇒
k = 4900 / [ 0,05 × ( 27330 ) ] ⇒
k = 4900 / 1366.5 ⇒
k = 3.5858031467252

L'ouverture de travail devra être au minimum de 3,59.

En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/4.

Methodologie

Sortez les informations chiffrées de la donnée, transformez-les en millimètre et associez-les aux lettres qui leur correspondent.
Cherchez la formule qui vous permet de trouver ce que vous cherchez avec ce que vous connaissez. Notez la formule brute sans remplacer les lettres par les chiffres dans un premier temps. Parfois vous devez calculer une valeur -comme m, x ou x'- qui vous manque pour utiliser une formule. Ensuite résolvez l'équation pas à pas, ne brûlez pas les étapes, cela sera plus facile pour vérifier votre calcul.
Essayez d'estimer si le résultat que vous obtenez est "possible" (valeur, ordre de grandeur).
Rédigez la réponse, cela vous permet de vérifier que vous répondez bien à la question.
N'oubliez pas d'indiquer les unités dans vos réponses !

Tolérances de netteté

La tolérance de netteté est le diamètre des taches floues sur le négatif ou le capteur qui produisent un cercle de confusion de 0,2 mm de diamètre qui est le pouvoir séparateur d'un œil normal pour un agrandissement 18 × 24 cm regardé à une distance égale à sa diagonale, qui est de 30 cm, soit la distance normale de vision.

Formatu
24 × 36 mm1/30 mm
6 × 6 cm1/20 mm
4 × 5 po1/10 mm
5 × 7 po1/7 mm
8 × 10 po1/5 mm

Ouvertures normalisées

Pour transformer une ouverture non normalisée k, résultat d'un calcul par exemple, en diaphragme ƒ/ normalisé ISO, vous devez utiliser le tableau ci-dessous.
Dans la colonne k, vous sélectionnez la valeur immédiatement supérieure à celle que vous avez trouvée par calcul, puis vous regardez à quelle ouverture normalisée cela correspond dans la colonne ƒ/.

ƒ/ k
0,7 0,707
0,794
½ 0,841
0,891
1 1,000
1,122
½ 1,189
1,260
1,4 1,414
1,587
½ 1,682
1,782
2 2,000
2,245
½ 2,378
2,520
2,8 2,828
3,175
½ 3,364
3,564
4 4,000
4,490
½ 4,757
5,040
5,6 5,657
6,350
½ 6,727
7,127
8 8,000
8,980
½ 9,514
10,079
11 11,314
12,699
½ 13,454
14,254
16 16,000
17,959
½ 19,027
20,159
22 22,627
25,398
½ 26,909
28,509
32 32,000
35,919
½ 38,055
40,317
45 45,255
50,797
½ 53,817
57,018
64 64,000
71,838
½ 76,109
80,635
90 90,510
101,59
½ 107,63
114,04
128 128,00
143,68
½ 152,22
161,27
180 181,02