Exercices de calculs d'optique géométrique appliquée

Des exercices concernant la profondeur de champ se trouvent plus bas ↓.
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 Calculs pour f ; p ; pʼ ; y ; yʼ ; m 

Avec une caméra technique et un objectif de 70 mm de focale, vous devez reproduire un objet de 23 cm de haut à une taille de 4 cm sur le capteur.
• Calculez le tirage de la caméra.

Résolution:

On aimerait utiliser la formule p' = ( m + 1 ) × f, mais on ne connait pas le rapport de grandeur m.
Par contre on peut le calculer facilement avec la taille de l'objet y et celle de l'image y' :
m = y' / y ⇒
m = 40 / 230 ⇒
m = 0.17391304347826
On peut maintenant calculer la distance image, ou tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.17391304347826 + 1 ) × 70 ⇒
p' = 1.1739130434783 × 70 ⇒
p' = 82.173913043478 [mm]

Le tirage de la caméra sera de 82,17 millimètres.

Sur un appareil moyen format muni d'un 60 mm, la distance minimale de mise au point est de 12 cm.
• Quel rapport de grandeur maximum pouvez-vous obtenir ?

Résolution:

On aimerait utiliser la formule m = f / x, mais on ne connait pas x.
Par contre on peut le calculer facilement avec la distance de mise au point p et la focale f, car x est la différence entre les deux:
x = p - f ⇒
x = 120 - 60 ⇒
x = 60 [mm]
On peut maintenant calculer le rapport de grandeur m :
m = f / x ⇒
m = 60 / 60 ⇒
m = 1

Le rapport de grandeur maximum est de 1,00.

Dans la situation précédente, calculez la grandeur de l'image si la grandeur de l'objet fait 33 mm.

Résolution:

Il suffit de multiplier la taille de l'objet y par le rapport de grandeur m qu'on vient de trouver:
y' = y × m ⇒
y' = 33 × 1 ⇒
y' = 33 [mm]

La taille de l'image sera de 33,0 millimètres.

Vous devez projeter un film 35 mm au rapport «académique» (photogramme: 20,95 × 15,24 mm) dans une salle de 16 m de profondeur et dont la base de l'écran est de 9 m.
• Calculez la focale de l'objectif nécessaire à cette projection.

Résolution:

Attention dans cet exercice de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image qui est de 16 mètres. De même, les 9 mètres de la base de l'écran est la dimension de l'image, qui correspond au 20.95 mm du photogramme qui, elle, est la dimension de l'objet (au cinéma, les images sont toujours projetées en format paysage…)
m = y' / y ⇒
m = 9000 / 20.95 ⇒
m = 429.59427207637
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p' / ( m + 1 ) ⇒
f = 16000 / ( 429.59427207637 + 1 ) ⇒
f = 16000 / 430.59427207637 ⇒
f = 37.157948996503 [mm]

La focale de l'objectif du projecteur devra être d'environ 37 mm.

Avec une caméra 4 × 5” et un objectif de 200 mm de focale, vous obtenez un tirage de 27.6 cm.
• Calculez la distance de prise de vue.

Résolution:

On utilise ici simplement la formule qui permet de trouver la distance de prise de vue lorsqu'on connait la focale et le tirage:
p = ( p' × f ) / ( p' - f ) ⇒
p = ( 276 × 200 ) / ( 276 - 200 ) ⇒
p = 55200 / 76
p = 726.31578947368 [mm]

La distance à l'objet sera de 726,32 mm.

Dans la situation précédente, calculez la taille de l'image si un objet de 28.9 cm de haut est placé dans le plan de netteté.

Résolution:

Pour connaître la taille de l'image il faut connaître le rapport de grandeur m, qui est aussi égal au rapport du tirage p' à la distance objet p :
m = p' / p ⇒
m = 276 / 726.31578947368 ⇒
m = 0.38
On peut maintenant calculer la grandeur image y' :
y' = y × m ⇒
y' = 289 × 0.38 ⇒
y' = 109.82 [mm]

La taille de l'image sera de 109,82 mm.

Toujours dans la même situation, que deviendront le tirage et la distance de prise de vue si l'image de l'objet doit faire 10 cm de haut.

Résolution:

De nouveau, on passe par le rapport de grandeur pour une grandeur image de 10 cm et une grandeur objet de 28.9 cm:
m = y' / y ⇒
m = 100 / 289 ⇒
m = 0.34602076124567
On peut maintenant calculer la distance objet p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f ⇒
p = [ ( 1 / 0.34602076124567 ) + 1 ] × 200 ⇒
p = 778 [mm]
…et la distance image, le tirage, p' :
p' = ( m + 1 ) × f ⇒
p' = ( 0.34602076124567 + 1 ) × 200 ⇒
p' = 269.20415224913 [mm]

Le tirage sera de 269,20 mm et la distance objet sera de 778,00 mm.

Dans une église, vous devez réaliser la reproduction d'un vitrail qui fait 12 m de haut par 4 m de large en petit format (24 × 36 mm, tolérance de netteté: 1/30 mm). Pour pouvoir faire cette prise de vue, vous devez vous placer dans une galerie qui se trouve en face du vitrail, à 20 m de celui-ci.
• Calculez la focale qu'il faudra utiliser.

Résolution:

On aimerait utiliser la formule f = p / [ ( 1/m ) + 1 ], mais on ne connait pas le rapport de grandeur m.
Par contre on peut le calculer facilement avec la taille de l'objet, y = 12000 mm, et la taille de l'image, autrement dit la taille du capteur ou du film pris dans le sens de la hauteur, soit ici y' = 36 mm :
m = y' / y ⇒
m = 36 / 12000 ⇒
m = 0.003
On peut maintenant calculer la focale f :
f = p / [ ( 1/m ) + 1 ] ⇒
f = 20000 [ ( 1/0.003 ) + 1 ] ⇒
f = 20000 [ 333.33333333333 + 1 ] ⇒
f = 20000 / 334.33333333333 ⇒
f = 59.820538384845

La focale devra être inférieure à 59,82 millimètres.

Un négatif 6 × 9 cm doit être agrandi à 60 × 70 cm. L'agrandisseur est équipé d'un objectif 170 mm.
• Calculez la distance objectif-cadre margeur.

Résolution:

Attention aussi dans cet exercice de ne pas confondre la distance image avec la distance objet: c'est la distance image que vous cherchez, pas la distance objet !
De même, les dimensions du négatif sont les dimensions de l'objet et les dimensions de l'agrandissement sont les dimensions de l'image.
Il y a une petite subtilité ici: Si vous choisissez de faire coïncider la hauteur du négatif avec la hauteur de l'agrandissement ou la largeur du négatif avec la largeur de l'agrandissement, vous aurez des rapports de grandeur différents (les négatifs ne sont pas forcément au même rapport hauteur / largeur que les formats des papiers: soit vous devez recadrer le négatif, soit vous avez des marges blanches sur l'agrandissement –par exemple pour un négatif 6x6 tiré sur un papier rectangulaire– ! ). Vous trouverez donc des distances images différentes.
Sans contrainte dans la question, c'est à vous de choisir !
m = y' / y ⇒
m1 = 600 / 60 ⇒
m1 = 10
m2 = 700 / 90 ⇒
m2 = 7.7777777777778
On peut maintenant calculer la distance image p' pour faire coïncider les hauteurs:
p = ( m + 1 ) × f ⇒
p1 = ( 10 + 1 ) × 170 ⇒
p1 = 1870 [mm]
Puisque le rapport hauteur/largeur du négatif n'est pas le même que le rapport hauteur/largeur de l'agrandissement (puisque m1 et m2 ne sont pas égaux), il faut aussi calculer la distance image pour la largeur:
p2 = ( 7.7777777777778 + 1 ) × 170 ⇒
p2 = 1492.2222222222 [mm]

La distance image sera de 1870 mm si on fait coïncider les hauteurs et de 1492 mm si on fait coïncider les largeurs.

A l'aide d'une caméra technique, vous devez faire une reproduction grandeur nature d'un timbre-poste. Le tirage maximal de cette caméra est de 21.6 cm. Vous disposez de deux objectifs: un 120 mm et un 60 mm de focale.
• Pouvez-vous faire cette reproduction ? Justifiez, par le calcul, votre réponse.

Résolution:

Je cherche le rapport de grandeur le plus grand possible (pour un tirage de 21.6 cm) pour les deux focales et je regarde si l'une des deux me permet un rapport de grandeur égal ou supérieur à 1. Pour calculer le rapport de grandeur m j'ai besoin de connaitre x', qui est la différence entre le tirage et la focale:
x = p' - f
x1 = 216 - 120
x1 = 96 [mm]
x2 = 216 - 60
x2 = 156 [mm]
On calcule ensuite les rapports de grandeurs maximaux avec les deux objectifs:
m = x' / f ⇒
m1 = 96 / 120 ⇒
m = 0.8
 -> Impossible avec le 120 mm car le rapport de grandeur maximal est inférieur à 1.
m2 = 156 / 60 ⇒
m = 2.6
 -> Possible avec le 60 mm car le rapport de grandeur peut être supérieur à 1.

La reproduction grandeur nature sera possible avec l'objectif de 60 millimètres.

Vous faites une prise de vue de montre au rapport 1 : 0.8 avec un objectif de 170 mm de focale.
• Calculez la distance de prise de vue.

Résolution:

Je commence par calculer le rapport de grandeur pour pouvoir utiliser la formule p = [ ( 1/m ) + 1 ] × f :
m = y' / y
m = 1 / 0.8
m = 1.25
On calcule ensuite la distance objet, ou distance de prise de vue, ou de mise au point p :
p = [ ( 1 / m ) + 1 ] × f
p = [ ( 1/1.25 ) + 1 ] × 170
p = [ ( 0.8 ) + 1 ] × 170
p = [ 1.8 ] × 170
p = 306 [mm]

La distance objet sera de 306 millimètres.

Dans la situation de la question précédente, calculez le tirage de l'appareil.

Résolution:

J'utilise simplement la formule:
p' = ( m + 1 ) × f
p' = ( 1.25 + 1 ) × 170
p' = ( 2.25 ) × 170
p' = 382.5 [mm]

La distance image, ou tirage, sera de 383 millimètres.

Dans la situation de la question précédente, calculez le facteur de prolongation et convertissez-le en pas de diaphragme.

Résolution:

J'utilise simplement la formule:
fdp = ( m + 1 )2
fdp = ( 1.25 + 1 )2
fdp = ( 2.25 )2
fdp = 5.0625

Le facteur de prolongation sera de 5,1

J'aurais très bien pu utiliser la formule:
fdp = ( p' / f )2
fdp = ( 382.5 / 170 )2
fdp = ( 2.25 )2
fdp = 5.0625

Je converti maintenant ce facteur en valeurs de diphragme, d'IL:
Ecart d'IL = Log(fdp) / Log(2)
Ecart d'IL = Log(5.0625) / Log(2)
Ecart d'IL = 0.70436503622272 / 0.30102999566398
Ecart d'IL = 2.3398500028846

Il faudra ouvrir de 2,3 valeurs de diaphragme, autrement dit de 2 diaph' et 3 dixièmes.


 Calculs pour h ; xʼ ; p ; pʼ ; k ; t ; pv ; ph 

Vous réalisez un paysage avec un objectif 120 mm, monté sur un appareil grand format diaphragmé à ƒ/64
• Calculez la distance hyperfocale.

Résolution:

On cherche à utiliser la formule h = [ f2 / ( u × k ) ] + f.
S'agissant de grand format, la tolérance de netteté u est de 1/10 mm, soit 0.1 mm.
h = [ f2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 1202 / ( 0.1 × 64 ) ] + 120 ⇒
h = [ 14400 / 6.4 ] + 120 ⇒
h = [ 2250 ] + 120 ⇒
h = 2370 [mm]

La distance hyperfocale sera de 2,37 mètres.

• Calculez le tirage nécessaire pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale trouvée plus haut.

Résolution:

L'intérêt de connaître la distance hyperfocale, c'est que lorsqu'on fait la mise au point à cette distance –et non plus à l'infini– on a la plus grande profondeur de champ possible. Comme on veut faire la mise au point à cette distance –autrement dit à 2,37 mètres dans l'exercice qui nous intéresse– on peut chercher le tirage de la caméra pour que la mise au point soit faite à cette distance:
p' = ( p × f ) / ( p - f ) ⇒
p' = ( 2370 * 120 ) / ( 2370 - 120 ) ⇒
p' = 284400 / 2250 ⇒
p' = 126.4 [mm]

Le tirage devra être de 126,4 millimètres pour que la mise au point soit faite à 2,37 mètres, la distance hyperfocale devenue la distance de mise au point.

• Dans la situation précédente, calculez l'augmentation du tirage qu'il faut par rapport à une mise au point à l'infini pour que la mise au point soit faite à la distance hyperfocale.

Résolution:

On cherche la différence entre le tirage de la caméra lorsque la mise au point est faite à une distance égale à la distance hyperfocale (autrement dit lorsque la distance objet p est égale à la distance hyperfocale h) et le tirage de la caméra lorsque la mise au moint est faite à l'infini (autrement dit lorsque le tirage est égal à la focale). Bref, on cherche x' :
x' = p' - f ⇒
x' = 126.4 - 120 ⇒
x' = 6.4 [mm]

L'augmentation du tirage sera de 6,4 millimètres.

• Enfin, toujours dans la même situation, calculez la distance du premier-plan net (donc la distance du premier-plan net lorsque la mise au point sera faite à la distance hyperfocale) et la distance de l'arrière-plan net.

Résolution:

«…Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini».
Donc il suffit de diviser la distance hyperfocale par deux pour connaître la distance du premier plan net pv lorsqu'on fera la mise au point à la distance hyperfocale. L'arrière-plan ph se trouvera, par définition, à l'infini.
pv = h / 2 ⇒
pv = 2370 / 2 ⇒
pv = 1185 [mm]

Le premier plan net sera à 1,2 mètres et l'arrière plan net à l'infini.

Pour une prise de vue, vous devez assurer une profondeur de champ de 3.83 m jusqu'à 8.49 m avec un objectif de 40 mm en petit format 24 × 36 mm (tolérance de netteté 1/30 mm).
• Calculez la distance de mise au point idéale.

Résolution:

Nul besoin de la focale ni de la tolérance de netteté, il suffit d'utiliser la formule suivante:
p = ( 2 × pv × ph ) / ( pv + ph ) ⇒
p = ( 2 × 3830 × 8490 ) / ( 3830 + 8490 ) ⇒
p = ( 65033400 ) / ( 12320 ) ⇒
p = 5278.6850649351 [mm]

La distance de mise au point idéale sera de 5,28 mètres.

• Dans la situation précédente, calculez l'ouverture de travail minimum et exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.

Résolution:

Là on cherche le diaphragme minimum qu'il faut pour que tout soit net entre 3.83 et 8.49 m avec une focale de 40 mm en petit format. La formule qu'il faut utiliser est:
k = [ f2 × ( ph - pv ) ] / ( 2 × u × pv × ph ) ⇒
k = [ 402 × ( 8490 - 3830 ) ] / ( 2 × 0.03 × 3830 × 8490 ) ⇒
k = [ 1600 × 4660 ] / ( 1951002 ) ⇒
k = 3.8216260157601

L'ouverture de travail devra être au minimum de 3,82 pour que tout soit net entre 3.83 et 8.49 m.

En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/4.

Pour une prise de vue macro en 6 × 6 cm, vous faites la mise au point à 187 mm avec un objectif de 100 mm diaphragmé à ƒ/32 (tolérance de netteté 1/20 mm).
• Calculez la profondeur de champ.

Résolution:

On cherche à utiliser la seule formule possible: t = ( 2 × p × x × h ) / ( h2 - x2 )
Mais avant cela il faut trouver la valeur de x et celle de h dont nous avons besoin:
h = [ f2 / ( u × k ) ] + f ⇒
h = [ 1002 / ( 0.05 × 32 ) ] + 100 ⇒
h = [ 10000 / 1.6 ] + 100 ⇒
h = [ 6250 ] + 100 ⇒
h = 6350 [mm]
Puis…
x = p - f ⇒
x = 187 - 100 ⇒
x = 87 [mm]
Et enfin…
t = ( 2 × p × x × h ) / ( h2 - x2 ) ⇒
t = ( 2 × 187 × 87 × 6350 ) / ( 40322500 - 7569 ) ⇒
t = ( 206616300 ) / ( 40314931 ) ⇒
t = 5.1250565206226 [mm]

La profondeur de champ sera de 5,1 millimètres.

• Dans la situation précédente, calculer la distance du premier-plan net et de l'arrière-plan net.

Résolution:

On cherche à utiliser la formule:
pv = ( p × h ) / [ h + ( p - f ) ] ⇒
pv = ( 187 × 6350) / [ 6350 + ( 187 - 100 ) ] ⇒
pv = ( 1187450 ) / ( 6437 ) ⇒
pv = 184.47258039459 [mm]
Puis la formule:
ph = ( p × h ) / [ h - ( p - f ) ] ⇒
ph = ( 187 × 6350 ) / [ 6350 - ( 187 - 100 ) ] ⇒
ph = ( 1187450 ) / ( 6263 ) ⇒
ph = 189.59763691522 [mm]

Le premier-plan net sera à 184,5 millimètres, et l'arrière plan à 189,6 millimètres.

Pour une prise de vue d'architecture en 24 × 36 mm avec un objectif de 40 mm de focale, vous devez faire la mise au point à 18 m.
• Calculez l'ouverture de travail minimum pour que la profondeur de champ s'étende de la moitié de la distance de mise au point jusqu'à l'infini. Exprimez votre résultat en pas de diaphragme normalisé ISO.

Résolution:

Ce qu'il faut comprendre ici, c'est que l'on cherche une ouverture pour une distance hyperfocale donnée: « …Lorsqu'on fait la mise au point à la distance hyperfocale, la profondeur de champ s'étend de la moitié de la distance hyperfocale jusqu'à l'infini ». Puisqu'on veut une profondeur de champ qui va de la moitié de la distance de mise au point jusqu'à l'infini, la distance de mise au point peut être considérée comme la distance hyperfocale. La formule qu'on peut utiliser est donc celle de la « recherche du diaphragme pour une hyperfocale donnée », soit k = f2 / [ u × ( h - f ) ] où h est égal à la distance de prise de vue p qui est de 18 m.
S'agissant de petit format, la tolérance de netteté u est de 1/30 mm, soit 0,033 mm.
k = f2 / [ u × ( h - f ) ] ⇒
k = 402 / [ 0,033 × ( 18000 - 40 ) ] ⇒
k = 1600 / [ 0,033 × ( 17960 ) ] ⇒
k = 1600 / 598.66666666068 ⇒
k = 2.6726057906726

L'ouverture de travail devra être au minimum de 2,67.

En ouverture normalisée ISO, cela fera un diaphragme de ƒ/2,8.

Methodologie

Sortez les informations chiffrées de la donnée, transformez-les en millimètre et associez-les aux lettres qui leur correspondent.
Cherchez la formule qui vous permet de trouver ce que vous cherchez avec ce que vous connaissez. Notez la formule brute sans remplacer les lettres par les chiffres dans un premier temps. Parfois vous devez calculer une valeur -comme m, x ou x'- qui vous manque pour utiliser une formule. Ensuite résolvez l'équation pas à pas, ne brûlez pas les étapes, cela sera plus facile pour vérifier votre calcul.
Essayez d'estimer si le résultat que vous obtenez est "possible" (valeur, ordre de grandeur).
Rédigez la réponse, cela vous permet de vérifier que vous répondez bien à la question.
N'oubliez pas d'indiquer les unités dans vos réponses !

Ouvertures normalisées

Pour transformer une ouverture non normalisée k, résultat d'un calcul par exemple, en diaphragme ƒ/ normalisé ISO, vous devez utiliser le tableau ci-dessous, copie de celui de la page 4 en haut à gauche de votre « formulaire de calcul pour les métiers de la photographie ».
Dans la colonne k, vous sélectionnez la valeur immédiatement supérieure à celle que vous avez trouvée par calcul, puis vous regardez à quelle ouverture normalisée cela correspond dans la colonne ƒ/.

ƒ/ k
0,7 0,707
0,794
½ 0,841
0,891
1 1,000
1,122
½ 1,189
1,260
1,4 1,414
1,587
½ 1,682
1,782
2 2,000
2,245
½ 2,378
2,520
2,8 2,828
3,175
½ 3,364
3,564
4 4,000
4,490
½ 4,757
5,040
5,6 5,657
6,350
½ 6,727
7,127
8 8,000
8,980
½ 9,514
10,079
11 11,314
12,699
½ 13,454
14,254
16 16,000
17,959
½ 19,027
20,159
22 22,627
25,398
½ 26,909
28,509
32 32,000
35,919
½ 38,055
40,317
45 45,255
50,797
½ 53,817
57,018
64 64,000
71,838
½ 76,109
80,635
90 90,510
101,59
½ 107,63
114,04
128 128,00
143,68
½ 152,22
161,27
180 181,02